Antes, menciono cuales serian los pasos sin SSH, que son menos pasos:
1.-Respaldar mediante phpmyadmin la base de datos, y restaurarla en el nuevo servidor
2.-Bajar mediante FTP los archivos de la carpeta raiz del foro, y subirlos al nuevo servidor
3.-Modificar config.php con los datos de la nueva base de datos

Pero si el foro es grande, y su base de datos es grande, por phpmyadmin podria fallar debido a la restriccion de la configuracion en PHP del tamaño maximo del archivo.
y ademas, si tiene muchos archivos por el mod de attachment, el bajarlos todos y volver a subirlos por FTP sera muy tardado

Por lo que en estos casos, sera mejor hacerlo por SSH, que es una conexion remota con nuestro servidor en donde podremos ejecutar comandos
Muchas empresas de hospedaje no ofrecen esta caracteristica, y algunas si, por lo que deberas de revisar primero esto con tu proveedor.
Puedes usar un programa para SSH como Putty, que es gratuito, o alguno mas sofisticado como SSH Tectia.

RESPALDO DE BASE DE DATOS E IMPORTACION

Primero, hice un respaldo de la base de datos, tambien por SSH, que es lo mas rapido.
Para esto, use el comando mysqldump, de la siguiente manera:

mysqldump --opt -uusername -ppassword -h yourMySQLHostname dbname > filename.sql

Suponiendo que:
Nombre Base de Datos = forophpbb
Usuario Base de Datos = usuario20
Password Usuario = pass30
Host donde esta la Base de Datos = localhost

Entonces queda:
mysqldump --opt -uusuario20 -ppass30 -h localhost forophpbb > forophpbb-feb-2008.sql

Para importar la base de datos al nuevo servidor, primero tuve que crear la base de datos, usando el mismo nombre, mismo usuario y contraseña (aunque pude haberlo cambiado), y usando el comando mysql de la siguiente manera:

mysql -hHOSTNAME -uUSER -pPASSWORD DATABASE < DUMPED_TEXTFILE

Entonces queda:
mysql -hlocalhost -uusuario20 -ppass30 forophpbb < forophpbb-feb-2008.sql

Claro, que antes tuve que copiar el archivo "forophpbb-feb-2008.sql" de un servidor a otro, esto puede hacerse por ftp, o incluso por SSH tambien. Por SSH puede usarse el comando wget.

COPIAR ARCHIVOS DE UN SERVIDOR A OTRO

Bueno, una forma en que puede hacerse, es bajar todo por FTP a nuestra computadora, y luego subir de nuevo todo al nuevo servidor por FTP tambien. Pero esto es lento, y mas si tenemos muchos archivos pesados, por lo que opte hacerlo todo por SSH de la siguiente manera:

Suponiendo que el directorio de los foros fuera:
phpbb

EN EL SERVIDOR ORIGEN
Entonces en el servidor origen se comprime todo usando el comando tar, de la siguiente manera:

tar -cvvf phpbb.tar phbbb/
(Aqui hay que notar, que la letra c despues de tar, indica la creacion de un archivo tar)

El archivo creado me asegure estuviera en una ruta publica dentro del dominio del foro, como www.dominioforo.com/phpbb.tar

EN EL SERVIDOR DESTINO
Luego en el servidor destino, descargue el archivo con wget:
wget http://www.dominioforo.com/phpbb.tar

En SHELL me marco el siguiente ERROR:
HTTP request sent, awaiting response... 403 Forbidden
01:42:19 ERROR 403: Forbidden.

Navegando en Internet, me entero que este error sucede porque el comando wget tiene un limite en el tamaño de descarga, que es como de 2 Gigas, por lo que encontre que una solucion es usar el comando SPLIT, el cual divide un archivo comprimido en varios de menor tamaño

split --bytes=1500000000 nombredetuarchivo.tar nombredetuarchivo.tar.
(NOTA: Es importante dejar el punto al final)
Esto hara que se creen varios archivos de tamaño de 1.5 Gigas, con terminacion .aa .ab .ac etc....

SERVIDOR ORIGEN:
En nuestro caso quedaria algo como:
split --bytes=1500000000 phpbb.tar phpbb.tar.
Lo cual creo los archivos:
phpbb.tar.aa
phpbb.tar.ab
phpbb.tar.ac

SERVIDOR DESTINO:
Volviendo a nuestro servidor destino, ya podremos transferir esos archivos con wget sin problemas
Despues de eso, usamos el comando CAT para volver a obtener un solo archivo comprimido:

cat *.tar.* > phpbb.tar
y despues extraemos el contenido:
tar -xvf phpbb.tar
(Aqui hay que notar, que la letra x despues de tar, indica la extraccion de un archivo tar)
 

CAMBIAR DNS
Luego, solo editamos nuestro archivo config.php de nuestro foro phpbb, con los datos de nuestra nueva base de datos, y modificamos los datos de DNS para dirigir nuestro foro a nuestro nuevo servidor y todo funcionara correctamente.
 

La ventaja de usar SSH sera la rapidez en que se mueve la informacion, ya que la transferencia se hace solo dentro de los servidores, y no tendremos que descargar los archivos por FTP y luego volver a subirlos por FTP, lo cual es realmente mucho mas tardado, incluso con una velocidad rapida.

Tambien en la base de datos, usando SSH se tiene ventaja que usando phpmyadmin, ya que si nuestro archivo es muy grande, es comun encontrar errores a la hora de importarlo, el mas comun, tiene que ver con el limite en el tamaño de nuestro archivo que tengamos configurado en PHP de nuestro servidor.